たわみの公式一覧｜片持ち梁・単純梁・両端支持梁の計算方法を解説

こんな悩みに答えます。

 

本記事では、たわみの計算に役立つ公式について解説。

単純梁、片持ち梁、両端固定梁それぞれのたわみの公式を一覧表にまとめました。

実務や資格試験において覚えておくべき計算式がひとめでわかります。

「たわみ」の基本を知りたい方は、先にたわみ（撓み）とは｜記号・単位・計算方法・公式をわかりやすく図解の記事をご確認ください。

住宅から特殊建築物まで1000件以上の設計相談を受けた経験をもとに、建築知識をわかりやすくまとめていきます。ご参考までにどうぞ。

たわみの公式一覧表

以下の梁へ集中荷重・等分布荷重・三角形分布荷重が作用するときに、「たわみ」を求める計算式を一覧表にまとめました。

公式の「^」記号は自乗を表します。たとえば、「x^2」は「xの2乗」という意味です。

✓ 単純梁

荷重	荷重状態	最大たわみ δ	たわみ角 θ
集中荷重		δ＝PL^3/48EI	θ＝PL^2/16EI
等分布荷重		δ＝ 5ｗL^4/384EI	θ＝ｗL^3/24EI
三角形分布荷重		δ＝ 0.00652ｗL^4/EI	θA＝7ｗL^3/360EI θB＝-ｗL^3/45EI

✓ 片持ち梁

荷重	荷重状態	最大たわみ δ	たわみ角 θ
集中荷重		δ＝PL^3/3EI	θ＝-PL^2/2EI
等分布荷重		δ＝ｗL^4/8EI	θ＝-ｗL^3/6EI
三角形分布荷重		δ＝ｗL^4/30EI	θ＝-ｗL^3/24EI

✓ 両端固定梁

荷重	荷重状態	最大たわみ δ	たわみ角 θ
集中荷重		δ＝PL^3/192EI	θ＝0
等分布荷重		δ＝ｗL^4/384EI	－

 

たわみの公式の覚え方

まずは、公式の中に必ず含まれる以下のルールを覚えましょう。

集中荷重の時はスパン（L）の3乗、等分布荷重のときは4乗です。

次に荷重によって異なる係数のうち、4つを押さえます。

✓ 単純梁の係数

✓ 片持ち梁の係数

例えば、「両端固定梁に集中荷重がかかるとき」のたわみは、δ＝ PL^3/192EI。

「両端ピンに集中荷重がかかるとき」にPL^3/48EIと覚えておけば、「両端固定の係数は両端ピンの係数1/48よりも小さいだろう」と予測できます。

語呂合わせで公式を覚える

資格試験などで公式を忘れてしまったときのために、自分なりの語呂合わせを決めておくと便利。

ここでは、有名な単純梁の語呂合わせを紹介します。

単純梁に集中荷重が作用するときの公式「PL^3/48EI」であれば、分母から分子へと読んで「弱（48）ったエイ（EI）をプール（PL）で見（3乗）た」と覚えます。

単純梁の等分布荷重「5wL^4/384EI」は、「桟橋（384）へGO（5）よ（4乗）」。

 

たわみの求め方

たわみの公式のなかでも、必ず覚えておきたいのが片持ち梁（先端荷重）の計算式「δ＝PL^3/3EI」。

片持ち梁の公式をつかって、単純梁や両端固定梁のたわみを求めることができるからです。

片持ち梁の公式から単純梁のたわみを求める方法

たとえば、単純梁の公式を片持ち梁の計算式から導いてみましょう。

単純梁の中央に集中荷重が作用して、梁がたわんだ状態をイメージしてください。

片持ち梁の変形と同じ部分を探します。

片持ち梁の先端に荷重がかかったときの公式「δ＝PL^3/3EI」に当てはめます。

δ＝（P/2）×（L/2）^3/3EI＝PL^3/48EI

片持ち梁の公式をつかって、単純梁のたわみを求めることができました。

片持ち梁の公式から両端固定梁のたわみを求める方法

単純梁の中央に集中荷重が作用して、梁がたわんだ状態をイメージします。

片持ち梁の変形と同じ部分を見つけましょう。

片持ち梁のたわみの計算式を当てはめます。

両端固定梁に集中荷重が作用したときの公式を導けましたね。

 

まとめ

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